• Hoje tivemos o mini-teste 3, vista de prova, e fizemos o problema 6.16 (cabo coaxial recheado de material com sucetibilidade chi). Terminamos a matéria. Estou disponível para tirar dúvidas na minha sala (519, torre nova) na quarta 20/7 entre 14h e 15h, e na sexta-feira 22/7 no mesmo horário. Depois aviso dos horários para tira-dúvidas na semana que vem.
• Na quarta 27/07 estarei na minha sala entre 14h e 16h para tirar dúvidas.
• As notas da P3 já estão disponíveis. A VS será na próxima quarta-feira, começando às 13h15. Na segunda 1/8 entre 15h e 16h estarei na minha sala caso alguém queira ver sua prova.
• Estarei na minha sala nesta terça-feira, 9/8 entre 15h e 16h, caso alguém queira ver as suas provas.

• Um paralelo enganoso: não há o equivalente a uma lei de Biot-Savart para H, pois o divergente dele não é nulo, em geral (ao contrário do campo B).
• Condições de contorno para H.
• Suscetibilidade e permeabilidade magnéticas. Meios lineares. Ex. 6.3: solenoide com material com suscetibilidade magnética.
• Ferromagnetismo. Domínios magnéticos, ponto de Curie, ciclo de histerese.
• Problema 6.21: energia de dipolo magnético em campo magnético, energia de dois dipolos magnéticos interagindo.
• Problema 6.17: fio grosso com suscetibilidade magnética e corrente uniforme.

O que vimos está no Griffiths, seções 6.3.2 a 6.4.2.

Na aula de segunda teremos um mini-teste e a vista de prova (vejam as notas da P2 aqui).

• Problema 6.9: barra cilíndrica magnetizada longitudinalmente.
• Problema 6.7: cilindro infinito magnetizado longitudinalmente.
• Problema 6.10: um quase-toro (com gap), magnetizado longitudinalmente.
• Interpretação física das correntes de magnetização. Vimos que a presença de magnetização em um corpo leva a correntes superficiais; e que a variação da magnetização dentro de um corpo resulta em correntes volumétricas.
• Campo auxiliar H: satisfaz a uma lei de Ampère. Exemplo 6.2: cilindro de cobre (diamagnético), com corrente uniformemente distribuída na seção reta.
• Discutimos as razões por que E e H são os campos mais comumente discutidos em experimentos práticos.
• Problema 6.12: cilindro infinito, magnetização na direção longitudinal. Ache B de duas formas.

O que vimos está no Griffiths, seções 6.2.2 a 6.3.1.

• Começamos o cap. 6: magnetismo na matéria.
• Existem materiais em que surge uma magnetização alinhada com o campo magnético externo (paramagnetos) ou no sentido oposto (diamagnetos). Também há ferromagnetos, que mantêm a magnetização mesmo na ausência de campos externos.
• Analisamos o torque e a força que um campo magnético externo faz sobre uma espira retangular. Acomodando espiras retangulares infinitesimais conseguimos recuperar o mesmo resultado para uma espira de formato arbitrário. Caso B não seja uniforme, pode haver também força sobre uma espira estendida. O torque tende a alinhar o momento de dipolo magnético da espira com o campo B externo.
• Problema 6.2: mostrando que o torque sobre qualquer distribuição de corrente estacionária é m vetor B.
• Efeito de B sobre órbitas atômicas. Com um modelo simples, vimos que um campo B externo pode induzir o surgimento de momento de dipolo magnético no sentido contrário a B ⇒ fenômeno que faz surgir o diamagnetismo.
• Calculamos o potencial vetor de um objeto magnetizado. Manipulando a integral, vimos que o mesmo potencial vetor pode ser obtido de correntes volumétrica e superficial que podem ser calculadas de maneira simples a partir da magnetização. Ex. 6.1: B de esfera uniformemente magnetizada.

O que vimos está no Griffiths, seções 6.1.1 a 6.2.1. Façam o Quizz n.9 até 13h de quarta, 13/7.

• Obtivemos o divergente e rotacional de B na magnetostática, sem precisar assumir nada sobre as correntes.
• Aplicações da Lei de Ampère. Ex. 5.7: B de fio reto infinito. Ex. 5.8: B de corrente superficial uniforme. Ex. 5.9: B de solenoide longo. Ex. 5.10: B de toroide com seção reta arbitrária. P. 5.13: corrente estacionária em fio cilíndrico.
• Comparação entre magnetostática e eletrostática; inexistência de monopolos magnéticos, spoiler sobre como vão ficar as equações de Maxwell corretas, com os termos associados à dinâmica dos campos. P. 5.20: como a Lei de Ampère tem uma inconsistência, se considerarmos correntes não-estacionárias.
• Potencial vetorial: vimos que se o divergente é nulo e A vai a zero no infinito, há uma fórmula integral simples para A, como solução das equações de Poisson associadas. Ex. 5.11: A e B de casca esférica carregada, que roda. Ex. 5.12: A de solenoide infinito.
• Condições de contorno na magnetostática, para B e para A.
• Expansão em multipolos para A. Não existem termo de monopolo (devido à inexistência de monopolos magnéticos). A e B de dipolo magnético “puro”.
• Ex. 5.13: momento de dipolo magnético m para circuito “dobrado”. P. 5.33: expressando o campo B de dipolo magnético sem as coordenadas explícitas. P. 5.34: comparando solução exata e aproximada do circuito circular. P. 5.35: m de disco com densidade uniforme de carga, rodando. P. 5.39: Efeito Hall. P. 5.41: trajetória de partícula em região com B com simetria radial, e perpendicular ao plano da velocidade inicial.

O que vimos está no Griffiths, seções 5.3.2 a 5.4.3. Atenção para a data do 3o mini-teste, será na segunda 18/7, no início da aula.

• Correntes superficiais e volumétricas. Ex. 5.4.
• Equação da continuidade: conservação local de carga.
• Correntes estacionárias: objeto da Lei de Biot-Savart. Formulação da Lei, unidades.
• Ex. 5.5: campo B de segmento de fio reto com corrente estacionária. Ex. 5.6: campo B no eixo de anel de corrente.
• Problema 5.9: dois circuitos, calcular B em certos pontos.
• Divergente e rotacional de B. Se o mundo só contivesse correntes em fios retos e infinitos, vimos que o rotacional de B é determinado de maneira simples pela densidade volumétrica de corrente. Na próxima aula vamos ver que essa expressão está correta para correntes estacionárias gerais.

O que vimos está nas seções 5.1.3 a 5.3.1 do Griffiths.

Façam o Quizz n.8 até a próxima segunda, às 13h.

• Magnetostática. O campo magnético, alguns experimentos que indicam que cargas em movimento podem fazer forças em cargas em movimento, e que a força não aparece se a carga-teste estiver estática (logo, não é força eletrostática).
• Lei de força de Lorentz. Exemplo 5.1: movimento ciclotrônico. Exemplo 5.2: movimento cicloide (sob B e E).
• Forças magnéticas não fazem trabalho.
• Força magnética sobre uma corrente elétrica. Exemplo 5.3: circuito com parte numa região com campo magnético.

O que vimos está no Griffiths, seções 5.1.1 a 5.1.3.

• Hoje fizemos vários problemas como revisão para a prova de segunda (que, aliás, começa às 13h30!).
• Problema 4.22: cilindro dielétrico em campo inicialmente uniforme.
• P. 4.23: outra forma de calcular o campo de esfera dielétrica em campo inicialmente uniforme.
• P. 3.36: imagens, dois fios perto de cilindro condutor.
• P. 4.27: energia de esfera dielétrica com polarização uniforme congelada.
• P. 4.33: linhas de campo dobrando em interface plana entre dielétricos.
• P. 4.30: força sobre dipolo em campo não-uniforme.
• P. 4.16: buracos de vários formatos, dentro de corpos dielétricos extensos.

• Problema 4.18: capacitor com 2 chapas dielétricas diferentes.
• Problema 4.20: esfera de dielétrico linear com carga livre uniforme.
• Problemas de valor de contorno em dielétricos lineares. Condições de contorno para o potencial.
• Exemplo 4.7: efera de dielétrico em campo uniforme.
• Exemplo 4.8: carga pontual perto de semi-espaço dielétrico.
• Energia em sistemas dielétricos: uma nova expressão para a energia de uma configuração.
• A diferença entre a expressão em termos de E, e aquela em termos de D e E.
• Exemplo 4.9: esfera dielétrica com carga livre uniforme. Calculamos a energia eletrostática da configuração de cargas livres e de polarização, e também a energia total (incluindo energia armazenada no dielétrico polarizado). Calculamos a energia armazenada no material polarizado com um modelo para o átomo em que um potencial harmônico liga a carga negativa à positiva. Obtivemos resultado compatível com as energias já calculadas.
• Forças sobre dielétricos: em geral difíceis de calcular. Ilustramos como fazer o cálculo usando uma expressão para a energia de uma configuração. Exemplo da placa dielétrica sendo inserida no capacitor de placas planas.

O que vimos está no Griffiths, seções 4.4.2 a 4.4.4.

Na quarta resolveremos vários problemas do cap. 4 (talvez também do 3). Na sexta não haverá aula, e a P2 será na segunda-feira, a partir das 13h30.

• Disanalogias entre E e D: por exemplo, não existe o equivalente a uma Lei de Coulomb para D. A diferença é que o rot(D) não é nulo em geral.
• Condições de contorno para D.
• Dielétricos lineares: suceptibilidade, permissividade, constante dielétrica. A física do comportamento de dielétricos lineares está toda contida no surgimento que uma polarização que é linearmente proporcional ao campo elétrico.
• Exemplo 4.5: esfera metálica “encapada”.
• Em configurações com dielétrico em todo o espaço em que o campo é diferente de zero, o efeito do dielétrico é blindar parcialmente o campo. Exemplo 4.6: capacitor de placas paralelas tem capacitância aumentada com recheio de dielétrico.

O que vimos está no Griffiths, seções 4.3.2 a 4.4.1.

As notas da P1 e do mini-teste 1 estão disponíveis aqui.

• Exemplo 4.2: campo de esfera uniformemente polarizada.
• Interpretação física da origem das cargas presas.
• Exemplo 4.3: outra maneira de ver o exemplo da esfera uniformemente polarizada.
• Campo elétrico dentro de dielétrico: justificativa para usarmos a aproximação de dipolo elétrico mesmo dentro do material.
• Lei de Gauss em dielétricos. Exemplo 4.4: fio encapado, calculamos D e depois E fora do fio.
• Problema 4.14: a integral das cargas presas é zero.
• Problema 4.15: casca esférica grossa com certa polarização. Calculamos o campo elétrico de duas formas diferentes.

O que vimos está no Griffiths, seções 4.2.1 a 4.3.1.

• Problema 3.28: momento de dipolo para distribuição com simetria esférica.
• Problema 3.29: expansão em multipolos do dipolo físico do início do capítulo.
• Problema 3.40: multipolos de diversas distribuições lineares de carga.
• Continuando o cap. 4 do Griffiths. Polarizabilidade de materiais não-isotrópicos. Torque em moléculas polares.
• Problema 4.5: torque de um dipolo sobre outro.
• Polarização = momento de dipolo por unidade de volume.
• Cargas presas: vimos que se um corpo está polarizado, formalmente o potencial pode ser escrito como uma contribuição de cargas volumétricas e uma contribuição de cargas superficiais. Na próxima aula vamos discutir a origem física dessas distribuições.

O que vimos está no Griffiths, seções 4.1.1 a 4.2.1.

Façam o Quizz n.7 até segunda 13/6 às 13h.

• Expansão sistemática em multipolos para potencial de distribuição arbitrária localizada de cargas estáticas.
• Discussão sobre o termo de monopolo e dipolo. Vimos que o dipolo elétrico de uma distribuição não muda se mudarmos a origem do referencial, desde que a carga total seja nula.
• Campo elétrico do dipolo perfeito. Problema 3.33: outra expressão, independente da orientação do eixo z, para o campo E de dipolo puro.
• Campo elétrico na matéria. Polarizabilidade atômica. Exemplo 4.1: modelo para polarizabilidade atômica.

O que vimos está no Griffiths, seções 3.4.1 a 4.1.2. Nosso 2o mini-teste será na quarta 15/6, veja a lista de problemas que podem ser cobrados aqui.

• Exemplo 3.9: casca esférica com densidade superficial de carga.
• Problema 3.18: certo V na superfície esférica.
• Problema 3.20: esfera de metal carregada em campo externo.
• Problema 3.23: resolvendo a equação de Laplace em coordenadas cilíndricas.
• Expansão em multipolos. Exemplo 3.10: dipolo elétrico.

O que vimos está no Griffiths, seções 3.3.2 a 3.4.1.

• Exemplo 3.5: guia retangular, dependência das condições de contorno com 2 variáveis.
• Separação de variáveis em coordenadas esférias: solução geral para problemas com simetria azimutal.
• Exemplo 3.6: casca esférica especificando as condições de contorno, encontrando V dentro.
• Exemplo 3.7: mesmo que o 3.6, mas encontrando a solução fora.
• Ex. 3.8: esfera metálica neutra em campo E uniforme.

O que vimos está no Griffiths, seções 3.3.1 a 3.3.2.

• Condutores e o 2o teorema de unicidade.
• Método das imagens: problema clássico de 1 carga pontual perto de um plano condutor aterrado: potencial, distribuição de carga, força e energia.
• Exemplo 3.2: carga pontual perto de esfera condutora aterrada.
• Problema 3.8: e se a esfera estiver com potencial V_0?
• Problema 3.10: carga pontual perto de espelhos planos que se unem em ângulo arbitrário.
• Problema 3.35: carga pontual entre espelhos planos.
• Nova técnica: separação de variáveis. Para iniciar o estudo para coordenadas cartesianas, exemplo 3.3, dois planos paralelos aterrados conectados por tira com potencial que depende de uma das variáveis. Depois vimos como ficava a solução explícita para a situação em que essa tira tem um potencial constante.
• Vimos que o sucesso da técnica dependeu de 2 propriedades do conjunto de funções senoidais: completeza e ortogonalidade.
• Exemplo 3.4: outro problema efetivamente bidimensional. Cano retangular, duas paredes opostas aterradas, as outras duas com V=V_0.

O que vimos está no Griffiths, seções 3.1.6 a 3.3.1. O Quizz n.6 deve ser feito até as 13h de sexta, 3/6. Já indiquei problemas sugeridos do cap. 3 do Griffiths.

• Hoje começamos o capítulo 3 do Griffiths, que é sobre técnicas especiais para determinação do potencial elétrico. Analisamos algumas propriedades básicas da equação de Laplace em 1, 2 e 3 dimensões. Provamos que o potencial em um ponto é a média do potencial numa superfície esférica em torno do ponto; como consequência, V não pode ter máximos e mínimos locais, os extremos têm que estar na fronteira da região, onde as condições de contorno são impostas externamente.
• Problema 3.1: potencial sobre a superfície da esfera, para o caso de cargas dentro da esfera. Problema 3.2: Teorema de Earnshaw: não dá para colocar carga em equilíbrio estável só com forças eletrostáticas.
• Condições de contorno e o primeiro teorema de unicidade da solução: V está univocamente determinado num volume se especificarmos V na superfície que envolve o volume. Se houver cargas, precisamos saber a densidade volumétrica dentro do volume também, e a solução continua única.
• Exemplo 3.1: potencial constante em cavidade sem cargas, dentro de um condutor.

O que vimos está no Griffiths, seções 3.1.1 a 3.1.5.

• Hoje fizemos vários problemas como revisão para a prova. Lembrando, a prova será na quarta-feira, 25/5 a partir das 13h30.
• Problemas 2.4, 2.13, 2.22, 2.47, 2.25, 2.27, 2.39, 2.36, 2.46, 2.51.

• Problema 2.34: calculando energia de cascas esféricas concêntricas.
• Condutores: propriedades básicas. Indução de distribuição de cargas. Exemplo 2.9: condutor esférico com cavidade arbitrária. Campo elétrico nulo na cavidade (se ela não contiver cargas).
• Problema 2.35: esfera sólida concêntrica com casca esférica grossa.
• Densidade superficial de carga, e força sobre ela.
• Problema 2.38: força que um hemisfério de casca esférica carregada faz sobre o outro.
• Capacitores: definindo a capacitância.
• Exemplo 2.10: capacitância de capacitor de placas paralelas.
• Exemplo 2.11: capacitância de capacitor de cascas esféricas concêntricas.
• Trabalho feito para carregar um capacitor.

O que vimos está no Griffiths, seções 2.5.1 a 2.5.4 (que é o fim do capítulo 2).

Atenção: conforme combinado com os alunos hoje, a P1 foi adiada para quarta-feira, 25/5, a partir das 13h30.

• Problema 2.21: potencial elétrico de esfera uniformemente carregada.
• Trabalho e energia na eletrostática. Energia de distribuição de cargas pontuais. Energia de distribuição contínua de carga. Exemplo 2.8: energia de casca esférica uniformemente carregada. Observações sobre aplicabilidade das fórmulas; energia infinita de carga pontual. Onde está armazenada a energia? Energia não obedece ao princípio da superposição.
• Problema 2.31: energia de configuração de 4 cargas pontuais.
• Problema 2.32: energia de esfera uniformemente carregada (3 cálculos diferentes).

O que vimos está no Griffiths, seções 2.4.1 a 2.4.4.

• Problemas 2.12 e 2.18: campo dentro de esfera uniformemente carregada, e campo de configuração de duas esféricas assim, não-concêntricas.
• Potencial elétrico; definição e uso de um ponto de referência para o zero de potencial. O potencial também satisfaz o princípio da superposição.
• Ex. 2.6: V dentro e fora de casca esférica carregada.
• Equações satisfeitas por V: equações de Poisson e de Laplace.
• Fórmula fechada para V em função de distribuição arbitrária de cargas estacionárias.
• Exemplo 2.7: V de casca esférica (outro cálculo).
• Condições de contorno para o campo elétrico e potencial; descontinuidade de E dos dois lados de distribuição superficial de carga.

O que vimos está no Griffiths, seções 2.3.1 a 2.3.5.

• Começamos a aula de hoje fazendo o mini-teste 1.
• Lei de Gauss, na forma integral; consequência da Lei de Coulomb e do princípio da superposição.
• Problema 2.10: fluxo.
• Estudando o divergente de E: forma diferencial da Lei de Gauss.
• Aplicações da Lei de Gauss. Ex. 2.2: campo fora de esfera uniformemente carregada. Ex. 2.3: campo dentro de cilindro com densidade que cresce linearmente com a distância do eixo. Ex. 2.4: campo de plano uniformemente carregado (já tínhamos calculado isso diretamente, como caso-limite do disco carregado). Ex. 2.5: dois planos paralelos com densidades superficiais de carga opostas.
• Na eletrostática, a integral de linha de E por qualquer caminho é 0. Por isso, o rotacional de E é zero, e como consequência podemos escrever E como o gradiente de uma função escalar (-V, onde V é o potencial elétrico).

O que vimos está no Griffiths, seções 2.2.2 a 2.2.4. Façam o Quizz n. 5 até sexta às 13h.

• Resolvemos os problemas: 1.20, 1.26, 1.31, 1.46, 1.62.
• O campo elétrico de várias cargas. Exemplo 2.1 (campo de 2 cargas).
• Campo de distribuições contínuas de carga. Problemas 2.5 e 2.6 (campo no eixo de simetria de anel e disco).
• Divergente e rotacional na eletrostática. Como construir linhas de campo; codificam a direção e intensidade do campo elétrico, seu fluxo sobre superfície fechada quantifica as cargas no interior.

O que vimos está no Griffiths, seções 2.1.3 a 2.2.1. Lembrem do mini-teste 1 no início da aula de quarta!

• A função delta de Dirac em 3 dimensões.
• Exemplo 1.16: integração por partes.
• Teorema de Helmholtz; teorema de campos irrotacionais; teorema sobre campos com divergente nulo. Problema 1.50: provando partes do teorema.
• Eletrostática: o problema fundamental. A força de uma carga fonte sobre uma carga teste. Lei de Coulomb, princípio da superposição. Problema 2.1.

O que vimos está no Griffiths, seções 1.5.3 a 2.1.2. Façam o Quizz n.4 até as 10h da manhã de segunda 9/5.

• Problema 1.35: duas novas fórmulas para integração por partes.
• Coordenadas esféricas.
• Coordenadas cilíndricas.
• Função delta de Dirac em 1 variável. Propriedades. Exemplos 1.14 e 1.15.
• Problema 1.45: integração por partes, delta como derivada da função degrau.

O que vimos está no Griffiths, seções 1.4.1 a 1.5.2. Façam o Quizz n.3 até a manhã da próxima sexta-feira, 6/5.

A função delta de Dirac começou a ser usada pelo Dirac em física teórica, e só depois de aproximadamente 20 anos foi formalizada pelos matemáticos, que desenvolveram a teoria das distribuições (notadamente por Laurent Schwartz). Para saber mais a respeito, recomendo o livro “Um convite à física matemática” do meu colega do IF-UFF Nivaldo Lemos, capítulo 9.

• Integral de superfície; exemplo 1.7.
• Integral de volume; exemplo 1.8.
• O teorema fundamental do cálculo, interpretação.
• Teorema fundamental para o gradiente. Exemplo 1.9.
• Teorema fundamental para o divergente.
• Teorema fundamental para o rotacional. Exemplo 1.11.
• Integração por partes: encontrando novas fórmulas para integração por partes a partir das fórmulas para derivadas de produto de função.

O que vimos está no Griffiths, seções 1.3.1 a 1.3.6.

• Ainda sobre o gradiente: exemplo 1.3.
• Problema 1.13 (cálculo de potências de “erre redondo”.
• O operador del. O divergente e sua interpretação geométrica. Ex. 1.4: cálculo simples de divergente.
• O rotacional, interpretação, exemplos simples no exemplo 1.5.
• Regras das derivadas do produto: vimos 5 regras, listadas na contra-capa do Griffiths; todas saem de forma simples da regra da derivada d

o produto de funções de uma variável.

• Fizemos as 5 combinações de 2 derivadas que fazem sentido, e vimos que elas se reduzem ao Laplaciano (que aparecerá muito no curso) e o gradiente do divergente (que não aparece).
• Cálculo integral: no eletromagnetismo precisaremos fazer integrais de linha, de superfície e de volume.
• Definição de integral de linha, integrais de linha fechadas. Exemplo 1.6: cálculo simples de integrais de linha.

O que vimos está no Griffiths, seções 1.2.2 a 1.3.1.

Façam o Quizz n.2 online até segunda 2/5 às 10h.

• Usando as definições das operações entre vetores que definimos na última aula, vimos como encontrar os componentes da soma, produto escalar e produto vetorial.
• Exemplo 1.2: usando as duas expressões para o produto escalar, vimos como fica fácil encontrar o ângulo entre dois vetores quaisquer.
• Produtos triplos: produto escalar triplo (o volume de um paralelepípedo “torto”); produto vetorial triplo, que sempre pode ser simplificado pela regra BAC - CAB.
• Definição e notações para os vetores posição, deslocamento infinitesimal, e separação.
• Como vetores se transformam: devem se transformar como as posições sob rotações. Tensores.
• Cálculo diferencial: gradiente e sua interpretação.

O que vimos está nas seções 1.1.2 a 1.2.2 do Griffiths.

Bem-vindos ao curso de Teoria Eletromagnética! Tópicos abordados na aula de hoje:

• Contextualização do eletromagnetismo, sua história e algumas características básicas.
• Vetores (definição intuitiva).Quatro operações com vetores: adição, produto escalar, produto por escalar, produto vetorial.

O que vimos está no Griffiths, prefácio e seção 1.1.1. Vocês devem fazer o Quizz n.1 até quarta de manhã.